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ベルヌーイの定理(Bernoulli's theorem)の応用


ベルヌーイの定理の応用として、ここでは、ピトー管、ベンチュリ管、マノメータの三つの例を挙げたいと思います。まず最初にピトー管の説明をします。下の図に示しているのがピトー管です。二重管となっていて、A、Bの位置には穴が開おり、流速を測定することができます。


左から右に向かって一様な流速vがあるとすると、穴AとBの位置における違いは流れに対して直角に穴が開いているか、平行に穴が開いているかということです。流れに直角に穴が開いているAにつながっている方は、一様流の流速の影響を受けて中の水位が高くなり、Bの方は一様流の影響がなく、ピトー管の外と水位が等しくなります。この水位差$\triangle H$で流速を測定することができます。

まず、AとBにベルヌーイの定理を適用すると次の式が得られます。

$\frac{p}{\rho g}+H+\frac{v^2}{2g}=\frac{p}{\rho g}+H+\triangle H$

左辺がA、右辺がBです。AもBもほぼ等しい高さにあるので、圧力は同じだけ働きます。したがって、圧力$p$も基準面からの高さ$H$も同じ値になります。しかし、A点は流れの影響を受けるため流速の項が含まれます。その分だけ、水面が持ち上がることになります。

結局、上の式を整理すると次の式が得られます。

$v=\sqrt{2g \triangle H}$

これで水位差$\triangle H$から流速が求めらることがわかりました。このピトー管は、現在でも管内の流速を知るためなどに使われているようです。

次は、ベンチュリ管とマノメータを同時に説明します。下の図にこの二つをまとめたものを示します。


上に二本伸びているのがベンチュリ管、下にU字型に伸びているのがマノメータです。どちらも流量を測定するために利用します。まずは、ベンチュリ管から示していきます。

左側の$v1$の地点を1、右側の$v2$の地点を2とすると、1では$p1/\rho g$だけ水面が上がり、2では$p2/\rho g$だけ水面が上がります。(連続の式から断面が小さくなる分だけ流速が速くなり、速くなった分だけベルヌーイの定理から圧力が下がります。)したがって、水位差$\triangle h$を用いて次の式のようにまとめることができます。

$\triangle h = \frac{p_1}{\rho g}-\frac{p_2}{\rho g}$

次に、1と2ではエネルギーは保存されるので、ベルヌーイの定理を適用すると次の式が得られます。

$\frac{p_1}{\rho g}+\frac{v^2 _1}{2g}=\frac{p_2}{\rho g}+\frac{v^2 _2}{2g}$

また、1と2に連続の式を適用すると次の式が得られます。

$v_1 A_1 = v_2 A_2$

以上の3式を連立させてpを消去して、$v2$について解くと次の式が得られます。

$ v_2 = \sqrt{ \frac{2g \triangle h}{1- \left( \frac{A_2}{A_1} \right)^2 } } $

したがって、流量$Q$は次のようになります。

$ Q=A_2 v_2 = A_2 \sqrt{\frac{2g\triangle h}{1-\left( \frac{A_2}{A_1} \right)^2 } } $

これで流量は、水位差と断面積から求められることがわかりました。ベンチュリ管の説明は以上になります。最後は、マノメータです。これも基本的な部分はベンチュリ管と全く同じです。


マノメータは、ベンチュリ管とは逆に下向きに管が出ています。その中には水銀などの水よりも比重の大きな流体が入っています。比重の大きな流体が入っている場合、圧力水頭差$\triangle h$は水銀面の高さの差$\triangle h'$を用いて次のように表すことができます。(簡単にわかると思うので、自分で確認してみてください。)

$\triangle h = \triangle h'\left( \frac{\rho _H}{\rho}-1 \right)$

このように、$\triangle h$よりも小さな$\triangle h'$を測定することで流量を知ることができます。これは、流量が小さい場合は水位差が出にくく、見難くなるため不利になります。しかし、流量が大きい場合は、小さな水位差で測定が可能となるため有利に働きます。

これで、流速を測るピトー管、流量を測るベンチュリ管、マノメータの説明を終わります。


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