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バッキンガムのパイ定理


拡散方程式の解を求めるのに、バッキンガムのパイ定理を利用する必要があるので先に説明しておきます。kinはあまり詳しくはないので証明できません…ですが利用方法だけは知っているのでそこだけ解説しておきます。

バッキンガムのパイ定理は、数式に含まれる物理量がA個、基本物理量がB個のとき、その数式はA-B個の無次元量で表現できるというものです。つまり、バッキンガムのパイ定理は数式に含まれている物理量の数を減らしたいときに使います。

物理量やら基本物理量やら、なにやらよくわからない言葉ですが、例を挙げて説明します。

例えば、拡散方程式もしくは拡散方程式の解には、物理量として濃度、質量、時間、位置、拡散係数という五つの物理量が入っています。これらは質量をM、時間をT、距離をLとすると、それぞれ[M/L](←一次元拡散方程式の場合)、[M]、[T]、[L]、[L^2/T]という次元を持っていると考えられます。また、これらに含まれている基本物理量は[M]と[T]と[L]という三つの物理量だとわかります。

物理量が五つで基本物理量が三つのとき、その数式は2(=5−3)個の無次元量で表現できるというのがバッキンガムのパイ定理です。ここでは、

$\pi_1 = \frac{C \sqrt{4\pi Dt}}{M}$

$\pi_2 = \frac{x}{\sqrt{4Dt}}$

という二式で表現することができます。

バッキンガムのパイ定理を一般的に表現すると、物理量が$A_1$、$A_2$、$A_3$、…、$A_n$と$n$個あり

$f\left(A_1 , A_2 , A_3 , \ldots , A_n \right)=0$

の関係があり、基本物理量が$m$個のとき互いに独立した$\left( n-m \right)$個の無次元量を変数として
$f\left( \pi _1 , \pi _2 , \ldots , \pi_{n-m} \right) = 0 $

と書き換えることができるということです。

これを利用するメリットは、方程式の数が減らせることや相対的に小さくなる項を省略しやすくなること、経験式を得やすくなることなどがあります。(研究をすればわかると思いますが、無次元量で整理するというのはよくやります。)

もっと詳しく知りたい方は文献をあさってくださいm(__)m


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